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By S. G. Michlin (auth.)

Die vorliegende kleine Monographie knüpft an zwei Gebiete der research an. Das eine ist die Variationsdifferenzenmethode zur näherungsweisen Lösung von Randwertaufgaben für Differentialgleichungen; dafür ist auch der identify Me­ thode der finiten Elemente gebräuchlich. Das andere Gebiet ist die Konstruktive Funktionentheorie. Unser Ausgangspunkt ist der Aufbau spezieller Klassen von Koordinatenfunktionen für die Variationsdifferenzenmethode durch elementare Transformationen der unabhängigen Variablen aus gewissen vorgegebenen Funktionen, die der Verfasser Ausgangsfunktionen nennt. Sind diese Koordina­ tenfunktionen konstruiert, entsteht die Frage nach ihren Linearkombinationen, mit denen Funktionen der einen oder der anderen vorgegebenen Klasse approxi­ miert werden können, sowie die Frage nach dem Genauigkeitsgrad einer solchen Approximation in dieser oder jenen Norm. Das ist bereits ein challenge der Kon­ struktiven Funktionentheorie. Die Monographie besteht aus elf Kapiteln. Im ersten Kapitel wird die Idee von R. CoURANT erörtert, die die Grundlage der Variationsdifferenzenmethode bildet. Ausführlich wird ein Beispiel von CouRANT diskutiert, und anband des Beispiels wird der Begriff der Ausgangsfunktion eingeführt. Es wird die all­ gemeine Definition dieses Begriffes gegeben und ein Verfahren zur Konstruk­ tion von Koordinatenfunktionen aufgezeigt.

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GOLOWKIN [I] angegeben. Wir setzen T11(x) = h -mw (:) 1) KYRILL KAPITONOWITSCH GoLOWKIN (1936-1969), ein frühzeitig verstorbener Leningrader Mathematiker, Verfasser vieler bedeutender Arbeiten über Funktionalanalysis und partielle Differentialgleichungen. § 2. Über die MitteJung von Funktionen 51 und nennen die Funktion 'th(x) Mittelungskern vom Range s. ul < (2) s) . Es sei u E L(Q), wobei Q hier eine beliebige meßbare Menge in R,.. ist. Die Funktion u(x) setzen wir auf den ganzen Raum fort, indem wir sie außerhalb von Q gleich Null setzen.

1) + ("'(X(Jq 1 >(t)) O' - { 1' t=O - womit die Formel (13) bewiesen ist. 1), 0::;; t::;; 1, zu. Das Wir wenden uns nun den Funktionen "Pq(t) = wq(t sind Polynome von höchstens (2s- 1)-tem Grade, die den Beziehungen + (0 < cx, q < 8 - 1) (16) 36 II. Vollständigkeit und Fundamentalbeziehungen genügen. Die Bedingungen (16) bestimmen diese Polynome eindeutig. Analog zu oben kann man zeigen, daß tpq(t) 1 = 1q. (1- t)' t"(a0 + a 1t + ... + a•-q-les-q- 1 ), (17) wobei a 0 , ~ .... , a 8 _ 1 die Koeffizienten (12) sind.

Multiplikative Ausgangssysteme konstruieren; jeder hinreichend glatten Funktion u(x) kann man eine Funktion u 11(x) = 8-1 -f 1: q=O ieJh + ~) h) Ö>q ( ~ hqu(ql((j - 1) (3) zuordnen, die man als approximierende für u(x) auffassen kann. Will man die Norm der Differenz u- u11 z. B. Q) klein halten, so kann man diejenigen Summanden im Ausdruck (3) weglassen, für die lql 8; in der genannten Metrik konvergieren diese mit h gegen Null und beeinflussen das Approximationsverhalten der Funktion (3) nicht.

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